Question

【题目】已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠．

(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题：

①如图1若∠BCA=90°，∠=90°、探索三条线段EF、BE、AF的数量关系并证明你的结论.

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°， 请添加一个关于∠与∠BCA关系的条件___ ____使①中的结论仍然成立；

(2)如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠=∠BCA，请写出三条线段EF、BE、AF的数量关系并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）①EF、BE、AF的数量关系： (相关等式均可，证明详见解析； ②∠与∠BCA关系：∠ +∠BCA=180°（或互补，相关等式均可）；（2）EF、BE、AF的数量关系： (相关等式均可) ，证明详见解析.

【解析】试题分析：（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；.

②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；.

（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．

试题解析：（1）①如图1中，.

.

E点在F点的左侧，.

∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，.

∴∠BEC=∠AFC=90°，.

∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，.

∴∠CBE=∠ACF，.

在△BCE和△CAF中，.

，.

∴△BCE≌△CAF（AAS），.

∴BE=CF，CE=AF，.

∴EF=CF-CE=BE-AF，.

当E在F的右侧时，同理可证EF=AF-BE，.

∴EF=|BE-AF|；

②∠α+∠ACB=180°时，①中两个结论仍然成立；.

证明：如图2中，.

.

∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，.

∴∠CBE=∠ACF，.

在△BCE和△CAF中，.

，.

∴△BCE≌△CAF（AAS），.

∴BE=CF，CE=AF，.

∴EF=CF-CE=BE-AF，.

当E在F的右侧时，同理可证EF=AF-BE，.

∴EF=|BE-AF|；

（2）EF=BE+AF．.

理由是：如图3中，.

.

∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，.

又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，.

∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，.

∴∠EBC=∠ACF，.

在△BEC和△CFA中，.

，.

∴△BEC≌△CFA（AAS），.

∴AF=CE，BE=CF，.

∵EF=CE+CF，.

∴EF=BE+AF．