Question

【题目】已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．

（1）如图①，若∠AOP=65°，求∠C的大小；

（2）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小．

Answer 1

【答案】（1）40°；（2）30°．

【解析】

(1) 连接OB，根据切线长定理可知∠APO=∠BPO=25，利用三角形的外角性质求出∠C.

(2)连接OB，先利用BD∥AC，说明△OBD是等边三角形，得出∠BOP=∠AOP=60，∠APO=30，利用三角形的外角性质求出∠C.

解：（1）连接BO，

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴∠APO=∠BPO，PA⊥AO，PB⊥OB，

∵∠AOP=65°，

∴∠APO=90°﹣65°=25°，

∴∠BPO=∠APO=25°，

∵∠AOP=∠BPO+∠C，

∴∠C=∠AOP﹣∠BPO=65°﹣25°=40°，

（2）连接OB，设∠AOP=x，

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴∠APO=∠BPO，PA⊥AO，PB⊥OB，

∴∠AOP=∠BOP，OA=OB=OD，

∵BD∥AC，

∴∠ODB=∠AOP，

∴∠ODB=∠BOP，即∠ODB=∠BOD，

∴BD=OB=OD，

∴△OBD是等边三角形，

∴∠BOP=∠AOP=60，

∴∠BPO=30，

∴∠C=∠AOP-∠BPO=30.

故答案为：（1）40°；（2）30°．