Question

【题目】如图，二次函数 的图像与 轴交于点 、 ，与 轴交于点 .

（1）求二次函数的表达式；
（2）设上述抛物线的对称轴 与 轴交于点 ，过点 作 ⊥ 于 ， 为线段
上一点， 为 轴负半轴上一点，以 、 、 为顶点的三角形与 相似；
满足条件的 点有且只有一个时，求 的取值范围；
②若满足条件的 点有且只有两个，直接写出 的值.

Answer 1

【答案】
（1）解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将C（0，3）代入得：3=-3a，解得a=-1，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3

（2）解：∵x=- =1，∴CE=1．将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，∴点C（0，3）．∴ED=3．设EP=x，则（0＜x＜3）．当△CEP∽△QDP时，则 ,即 ，

整理得：m=2- ，∴m随x的增大而增大，∴m＜1．∵Q在x轴的负半轴上，∴m＜0．当△CEP∽△PDQ时， ,即 ，整理得：m=x2-3x+1，∴当x= 时，m有最小值，m的最小值=- ．又∵Q在x轴的负半轴上，∴m＜0．∴- ≤m＜0．①∵当m＜- 时，有且只有△CEP∽△QDP一种情况，∴当m＜- 时，满足条件的点P有且只有一个．②当- ≤m＜0时，存在△CEP∽△QDP或△CEP∽△PDQ两种情况，∴当- ≤m＜0时，满足条件的P点有且只有两个

【解析】（1）把A、B、C的坐标代入顶点式，得到抛物线的解析式；（2）由抛物线的对称轴直线，得到CE的值，当△CEP∽△QDP时，得到比例，得到m随x的增大而增大，求出m的取值范围；根据二次函数的解析式得到m的最小值.