Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O切线交于点D．

（1）若AC=6，BC=3，求OE的长．

（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠CDE=2∠A，理由见解析.

【解析】分析：(1)由勾股定理求AB，证明△AOE∽△ACB，根据相似三角形的对应线段成比例求OE；(2)连接OC，可知∠3＝2∠A，只需用同角的余角证∠D＝∠3即可.

详解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝900，

在Rt△ABC中，由勾股定理得:AB＝＝3，

∴OA＝AB＝.

∵OD⊥AB，∴∠AOE＝∠ACB＝900，由∵∠A＝∠A，∴△AOE∽△ACB，

∴，即，解得:OE＝.

(2)∠CDE＝2∠A，

理由如下:连接OC，如图所示：

∵OA＝OC，∴∠1＝∠A，

∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝900，∴∠2＋∠CDE＝900，

∵OD⊥AB，∴∠2＋∠3＝900，∴∠3＝∠CDE，∵∠3＝∠A＋∠1＝2∠A，

∴∠CDE＝2∠A.