Question

【题目】已知，矩形ABCD中，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O.

(1)如图1，连接AF、CE，求证:四边形AFCE为菱形；

(2)如图2，若AB=4cm，AF=5cm，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中：

①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值；

②若点P、Q的运动路程分别为(单位:cm，)，已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式。

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)①;②a+b=12(ab≠0).

【解析】

(1)证明△AOE≌△COF，由全等推出OE=OF，得出平行四边形AFCE，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形即可得结论；

(2)①分情况讨论可知，P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可；

②由题意得，以A、C、P、O四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上，分三种情况，画出图形讨论即可得.

(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴AE∥FC，

∴∠EAO=∠FCO，

∵EF垂直平分AC，

∴AO=CO，FE⊥AC，

在△AOE和△COF中

，

∴△AOE≌△COF，

∴EO=FO，

∴四边形AFCE为平行四边形，

又∵FE⊥AC，

∴平行四边形AFCE为菱形；

(2)①显然当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；

同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形，

因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，

∴以A、C、P、O四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA,

∵点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒，

∴PC=5t,QA=12-4t, ∴5t=12-4t,解得：t=,

∴以A、C、P、O四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=；

②由题意得，以A、C、P、O四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上，

分三种情况：

(i)如图1，当P点在AF上，Q点在CE上时，AP=CQ,即a=12-b,得a+b=12；

(ii) 如图2，当P点在BF上，Q点在DE上时，AQ=CP,即12-b=a,得a+b=12；

(iii) 如图3，当P点在AB上，Q点在CD上时，AP=CQ,即12-a=b,得a+b=12；

综上所述，a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0).