Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB=2∠EAB．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若cosC=，AC=6，求BF的长．

Answer 1

【答案】（1）AC是⊙O的切线；（2）BF的长为3．

【解析】

试题分析：（1）连结AD，如图，根据圆周角定理，由E是的中点得到∠EAB=∠EAD，由于∠ACB=2∠EAB，则∠ACB=∠DAB，再利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则∠DAC+∠ACB=90°，所以∠DAC+∠DAB=90°，于是根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；

（2）作FH⊥AB于H，如图，利用余弦定义，在Rt△ACD中可计算出CD=4，在Rt△ACB中可计算出BC=9，则BD=BC﹣CD=5，接着根据角平分线性质得FD=FH，于是设BF=x，则DF=FH=5﹣x，然后利用平行线得性质由FH∥AC得到∠HFB=∠C，所以cos∠BFH=cosC=，再利用比例性质可求出BF．

试题解析：（1）证明：连结AD，如图，

∵E是的中点，

∴，

∴∠EAB=∠EAD，

∵∠ACB=2∠EAB，

∴∠ACB=∠DAB，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAC+∠ACB=90°，

∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°，

∴AC⊥AB，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：作FH⊥AB于H，如图，

在Rt△ACD中，∵cosC=，

∴CD=×6=4，

在Rt△ACB中，∵cosC=，

∴BC=×6=9，

∴BD=BC﹣CD=9﹣4=5，

∵∠EAB=∠EAD，即AF平分∠BAD，

而FD⊥AD，FH⊥AB，

∴FD=FH，

设BF=x，则DF=FH=5﹣x，

∵FH∥AC，

∴∠HFB=∠C，

在Rt△BFH中，∵cos∠BFH=cosC=，

∴，解得x=3，

即BF的长为3．