Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．

定义图形W的测度面积：若|x1﹣x2|的最大值为m，|y1﹣y2|的最大值为n，则S=mn为图形W的测度面积．

例如，若图形W是半径为1的⊙O，当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得最大值，且最大值n=2．则图形W的测度面积S=mn=4

（1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1．

①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S= ；

②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S= ；

（2）若图形W是一个边长1的正方形ABCD，则此图形的测度面积S的最大值为 ；

（3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）1,1；（2）2；（3）12≤S≤．

【解析】

试题分析：（1）由测度面积的定义利用它的测度面积S=|OA||OB|求解即可；

②利用等腰直角三角形的性质求出AC，AB，利用测度面积S=|AB||OC|求解即可；

（2）先确定正方形有最大测度面积S时的图形，即可利用测度面积S=|AC||BD|求解．

（3）分两种情况当A，B或B，C都在x轴上时，当顶点A，C都不在x轴上时分别求解即可．

试题解析：（1）①如图3，

∵OA=OB=1，点A，B在坐标轴上，

∴它的测度面积S=|OA||OB|=1，

故答案为：1．

②如图4，

∵AB⊥x轴，OA=OB=1．

∴AB=，OC=，

∴它的测度面积S=|AB||OC|=×=1，

故答案为：1．

（2）如图5，图形的测度面积S的值最大，

∵四边形ABCD是边长为1的正方形．

∴它的测度面积S=|AC||BD|=×=2，

故答案为：2．

（3）设矩形ABCD的边AB=4，BC=3，由已知可得，平移图形W不会改变其测度面积的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上，

当A，B或B，C都在x轴上时，

如图6，图7，

矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S=12．

当顶点A，C都不在x轴上时，如图8，过点A作直线AH⊥x轴于点E，过C点作CF⊥x轴于点F，过点D作直线GH∥x轴，分别交AE，CF于点H，G，则可得四边形EFGH是矩形，

当点P，Q与点A，C重合时，|x1﹣x2|的最大值为m=EF，|y1﹣y2|的最大值为n=GF．

图形W的测度面积S=EFGF，

∵∠ABC+∠CBF=90°，∠ABC+∠BAE=90°，

∴∠CBF=∠BAE，

∵∠AEB=∠BFC=90°，

∴△AEB∽△BFC，

∴，

设AE=4a，EB=4b，（a＞0，b＞0），则BF=3a，FC=3b，

在RT△AEB中，AE2+BE2=AB2，

∴16a2+16b2=16，即a2+b2=1，

∵b＞0，

∴，

在△ABE和△CDG中，

∴△ABE≌△CDG（AAS）

∴CG=AE=4a，

∴EF=EB+BF=4b+3a，GF=FC+CG=3b+4a，

∴图形W的测度面积S=EFGF=（4b+3a）（3b+4a）

=12a2+12b2+25a=12+25=12+25，

当时，即a=时，测度面积S取得最大值12+25×=，

∵a＞0，b＞0，

∴，

∴S＞12，

综上所述：测度面积S的取值范围为12≤S≤．