Question

【题目】在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上（不与点A、B、C重合），点P是直线AB上的任意一点（不与点A、B重合）．设∠PDA=x，∠PEB=y，∠DPE=m，∠C=n．

（1）如图，当点P在线段AB上运动，且n=90°时

①若PD∥BC，PE∥AC，则m=_____；

②若m=50°，求x+y的值．

（2）当点P在直线AB上运动时，直接写出x、y、m、n之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）①90°，②140°；（2）详见解析.

【解析】分析：（1）①证明四边形DPEC为平行四边形可得结论；
②根据四边形内角和为360°，列等式求出x+y的值；
（2）根据P、D、E位置的不同，分五种情况：①y-x=m+n，如图2，点P在BA的延长线上时，根据三角形的内角和与外角定理列等式，化简后得出结论；
②x-y=m-n，如图3，点P在BA的延长线上时，根据三角形的内角和与外角定理列等式，化简后得出结论；
③x+y=m+n，如图4，点P在线段BA上时，根据四边形的内角和为360°列等式，化简后得出结论；
④x-y=m+n，如图5，同理得出结论；
⑤y-x=m-n，如图6，同理得出结论．

详解：（1）①如图1，

∵PD∥BC，PE∥AC，
∴四边形DPEC为平行四边形，
∴∠DPE=∠C，
∵∠DPE=m，∠C=n=90°，
∴m=90°；
②∵∠ADP=x，∠PEB=y，
∴∠CDP=180°-x，∠CEP=180°-y，
∵∠C+∠CDP+∠DPE+∠CEP=360°，
∠C=90°，∠DPE=50°，
∴90°+180°-x+50°+180°-y=360°，
∴x+y=140°；

（2）分五种情况：

①y﹣x=m+n，如图2，

理由是：

∵∠DFP=n+∠FEC，∠FEC=180°﹣y，

∴∠DFP=n+180°﹣y，

∵x+m+∠DFP=180°，

∴x+m+n+180°﹣y=180°，

∴y﹣x=m+n；

②x﹣y=m﹣n，如图3，

理由是：

同理得：m+180°﹣x=n+180°﹣y，

∴x﹣y=m﹣n；

③x+y=m+n，如图4，

理由是：

由四边形内角和为360°得：180°﹣x+m+180°﹣y+n=360°，

∴x+y=m+n；

④x﹣y=m+n，如图5，

理由是：

同理得：180°=m+n+y+180°﹣x，

∴x﹣y=m+n；

⑤y﹣x=m﹣n，如图6，

理由是：

同理得：n+180°﹣x=m+180°﹣y，

∴y﹣x=m﹣n．