Question

【题目】如图，己知△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，作∠ABC的角平分线交AC于D，以D为圆心，DA为半径作圆，与射线交于点E、F．有下列结论： ①△ABC是直角三角形；②⊙D与直线BC相切；③点E是线段BF的黄金分割点；④tan∠CDF=2．
其中正确的结论有（ ）

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵32+42=52 ， ∴AB2+AC2=AB2 ，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，①正确；
作DM⊥BC于M，如图所示：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴DM=DA，
∴⊙D与直线BC相切，
∴②正确；
∵∠BAC=∠DMC=90°，
在Rt△BDM和△BDA中，
，
∴Rt△BDM≌△BDA（HL），
∴MB=AB=3，
∴CM=BC﹣MB=2，
∵∠C=∠C，
∴△CDM∽△CBA，
∴ ，即 ，
解得：DM= ，
∴DF=DE= ，
∴BD= = = ，
∴BE=BD﹣DE= ﹣ ，BF=BD+DF= + ，
∵EF2=9，BFBE=（ + ）（ ﹣ ）=9，
∴EF2=BFBE，
∴点E是线段BF的黄金分割点，③正确；
∵tan∠CDF=tan∠ADB= = =2，
∴④正确；
正确的有4个．
故选：A．

【考点精析】通过灵活运用切线的判定定理和黄金分割，掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=0.618AB即可以解答此题．