Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx＋m－1(m＞0)与x轴的交点为A，B，顶点为C，将抛物线在A，C，B之间的部分记为图象E(A，B两点除外)．
（1）求抛物线的顶点坐标．
（2）AB＝6时，经过点C的直线y＝kx＋b(k≠0)与图象E有两个交点，结合函数的图象，求k的取值范围．
（3）若横、纵坐标都是整数的点叫整点．
①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；
②若抛物线在点A，C，B之间的图象E与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

C(1，－1).

（2）

AB＝6时，抛物线与x轴的两个交点分别是(－2，0)，(4，0)，又因为顶点为(－1，1)，当直线经过C与A，C与B时，分别解得k＝ ，所以k的取值范围为 ＜k＜0，或0＜k＜ .

（3）

①当m＝1时，抛物线表达式为y＝x2－2x，因此A、B的坐标分别为(0，0)和(2，0)，则线段AB上的整点有(0，0)，(1，0)，(2，0)共3个.

②抛物线顶点为(1，－1)，则指定区域的整点的纵坐标只能为－1或者0，所以即要求AB线段上(含AB两点)必须有5个整点；

令y＝mx2－2mx＋m－1＝0，得到A、B两点坐标分别为( ，0)，( ，0)，即5个整点是以(1，0)为中心向两侧分散，

进而得到2≤ ＜3，所以 ＜m≤ .

【解析】（1）y＝mx2－2mx＋m－1=m(x-1）2-1，
则顶点C(1，－1).
（2）因为y＝mx2－2mx＋m－1=m(x-1）2-1，
所以对称轴为直线x=1,
因为AB＝6，所以抛物线与x轴的两个交点分别是(－2，0)，(4，0)，
因为直线y＝kx＋b(k≠0)过C（1，-1）点，则y=kx-k-1,
当直线经过（-2,0）时，代入得-2k-k-1=0,
解得k=；
当直线经过（4,0）时，代入得4k-k-1=0,
解得k=.
综上所述，因为图象E不包括A，B，则 ＜k＜0，或0＜k＜ .
（3）①当m＝1时，抛物线表达式为y＝x2－2x，
因此A、B的坐标分别为(0，0)和(2，0)，
则线段AB上的整点有(0，0)，(1，0)，(2，0)共3个.
②抛物线顶点为(1，－1)，
则指定区域的整点的纵坐标只能为－1或者0，
所以即要求AB线段上(含AB两点)必须有5个整点；
令y＝mx2－2mx＋m－1＝0，得到A、B两点坐标分别为( ，0)，( ，0)，即5个整点是以(1，0)为中心向两侧分散，分别为（-1,0），（0,0），（1,0），（2,0），（3，0），
则-2< ≤-1,
进而得到2≤ ＜3，
所以 ＜m≤ .
（1）根据顶点公式（），代入相应值计算即可或者配成顶点式；
（2）图象E指的是A，B，C之间所构成的图象，根据C（1.-1）可求出b，根据与图象E有两个交点可求出k的聚值范围；要理解当k>0时，随着k的增大，直线与x轴的正半轴的较小的夹角会越来越大；当k<0时，随着k的增大，直线与x轴的正半轴的较小的夹角会越来越小；
（3）①根据m的值可求出A，B的坐标，即可得到线段AB的整点坐标，包括A点和B点；
②因为二次函数的最小值是-1,而在抛物线在点A，C，B之间的图象E与线段AB所围成的区域内(包括边界)中是-1≤y<0的，除了（1，-1），所以其他整点一定在线段AB上.