Question

【题目】在已知线段AB的同侧构造∠FAB＝∠GBA，并且在射线AF，BG上分别取点D和E，在线段AB上取点C，连结DC和EC．

Ⅰ、如图，若AD＝3，BE＝1，△ADC≌△BCE．在∠FAB＝∠GBA＝60或∠FAB＝∠GBA＝90两种情况中任选一种，解决以下问题：
①线段AB的长度是否发生变化，直接写出长度或变化范围；
②∠DCE的度数是否发生变化，直接写出度数或变化范围．
Ⅱ、若AD＝a，BE＝b，∠FAB＝∠GBA＝α，且△ADC和△BCE这两个三角形全等，请求出：
①线段AB的长度或取值范围，并说明理由；
②∠DCE的度数或取值范围，并说明理由．

Answer 1

【答案】选图一
Ⅰ、①AB＝4，不变；
②∠DCE＝60.
Ⅱ、当a b时，①AB＝ a＋b； ②∠DCE＝α
当a=b时，①AB＞0. ②0＜∠DCE＜180.
选图二
Ⅰ、① AB＝4，不变； ②∠DCE＝90.
Ⅱ、当a b时，①AB＝ a＋b； ②∠DCE＝α
当a=b时，① AB＞0. ②0＜∠DCE＜180.
【解析】选图一
Ⅰ、①∵△ADC≌△BCE，
∴BC=AD=3，AC=BE=1，
∴AB=AC+BC=4，
即AB＝4，不变；
②∵∠FAB＝∠GBA＝60，
∴∠ADC+∠ACD=120，
∵△ADC≌△BCE，∴∠ADC=∠BCE，
∴∠BCE+∠ACD=120，
∴∠DCE＝60.
Ⅱ、当a b时，则△ADC≌△BCE，
①∵△ADC≌△BCE，∴BC=AD=a，AC=BE=b，则AB＝ a＋b；
②∠DCE＝α
当a=b时，则△ADC≌△BEC，∴AC=BC，则
①AB＞0. ②0＜∠DCE＜180.
选图二
Ⅰ、①∵△ADC≌△BCE，
∴BC=AD=3，AC=BE=1，
∴AB=AC+BC=4，
即AB＝4，不变；
②∵∠FAB＝∠GBA＝90，
∴∠ADC+∠ACD=90，
∵△ADC≌△BCE，∴∠ADC=∠BCE，
∴∠BCE+∠ACD=90，
∴∠DCE＝90.
Ⅱ、当a b时，则△ADC≌△BCE，
①∵△ADC≌△BCE，∴BC=AD=a，AC=BE=b，则AB＝ a＋b；
②∵∠FAB＝∠GBA＝α，
∴∠ADC+∠ACD=180-α，
∵△ADC≌△BCE，∴∠ADC=∠BCE，
∴∠BCE+∠ACD=180-α，
则∠DCE＝α；
当a=b时，则△ADC≌△BEC，∴AC=BC，则
①AB＞0. ②0＜∠DCE＜180.
根据△ADC与△BCE各对顶点和各对应边，且已知∠FAB＝∠GBA，所以A与B对应，
在Ⅰ中，根据△ADC≌△BCE，得到对应边相等，由等量代换得到AB的长，根据对应角相等、三角形内角和与平角的定义可求得∠DCE；
在Ⅱ中要分D与C对应和D与E对应就这两种情况讨论，做法与Ⅰ中类似.