Question

【题目】如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N

（1）若CM=x，则CH=（用含x的代数式表示）；
（2）求折痕GH的长．

Answer 1

【答案】
（1）﹣ x2+3
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠B=∠C=∠D=90°，

设CM=x，由题意可得：ED=3，DM=6﹣x，∠EMH=∠B=90°，

故∠HMC+∠EMD=90°，

∵∠HMC+∠MHC=90°，∴∠EMD=∠MHC，

∴△EDM∽△MCH，

∴ = ，

即 = ，

解得：x1=2，x2=6（不合题意舍去），

∴CM=2，

∴DM=4，

∴在Rt△DEM中，由勾股定理得：EM=5，

∴NE=MN﹣EM=6﹣5=1，

∵∠NEG=∠DEM，∠N=∠D，

∴△NEG∽△DEM，

∴ = ，

∴ = ，

解得：NG= ，

由翻折变换的性质，得AG=NG= ，

过点G作GP⊥BC，垂足为P，

则BP=AG= ，GP=AB=6，

当x=2时，CH=﹣ x2+3= ，

∴PH=BC﹣HC﹣BP=6﹣ ﹣ =2，

在Rt△GPH中，GH= = =2 ．