Question

【题目】已知：点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，点P是AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为E、F

(1)如图1，当点P与点O重合时，求证：OE=OF

(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转,当∠OFE=时，有OE=OF，如图2，线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？给出证明。

(3)当点P在图3位置,且∠OFE=时，线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？（直接写出结论，无需证明.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；（3）CF=OE-AE.

【解析】

（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．

（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG是等边三角形，即可解决问题．

（3）图3中的结论为：CF=OE-AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．

（1）∵重合

∴

∵四边形ABCD是平行四边形，O为对角线交点

∴AO=CO，

在△AEO和△CFO中，

∴△AEO△CFO（AAS）

∴OE=OF

（2）延长EO交CF于点G，如图所示，

则可得

∵

∴AE∥CF

∴

又∵O 为对角线交点

∴AO=CO

在△AEO和△CGO中，

∴△AEO△CGO（ASA）

∴OE=OG，AE=CG

在Rt△EFG中，OE=OG，

∴点O为Rt△EFG斜边EG的中点，

故OF=OE=OG=

∴∠OFE=∠OEF=30°

∴∠OFG=∠EFG∠OFE=90°30°=60°

又∵OF=OG

∴△OFG为等边三角形

故GF=OF=OE

∵CF=CG+GF

∴CF=CG+GF =AE+OE

（3）延长EO、FC交于点G，如图所示，

∵

∴AE∥CF

∴

又∵O 为对角线交点

∴AO=CO

在△AEO和△CGO中，

∴△AEO△CGO（AAS）

∴OE=OG，AE=CG

在Rt△EFG中，OE=OG，

故点O为Rt三角形EFG斜边EG的中点，

∴OF=OE=OG=

∵∠OEF=30°

∴∠OFE=∠OEF=30°

即∠OFG=∠EFG-∠EFO=90°30°=60°

又∵OF=OG

∴△OFG为等边三角形

∴GF=OF=OG=OE

∵CF=GF-CG

∴CF=OE-AE