Question

【题目】菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF=60°
（1）如图1，当点E是CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；
（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，且∠EAB=15°，求点F到BC的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AC，如图1中，∵∠BAC=∠EAF=60°，

∴∠BAE=∠CAE，

在△BAE和△CAF中，

，

∴△BAE≌△CAF，

∴BE=CF

（2）解：如图2中，过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，

∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，

∴∠AEB=45°，

在RT△AGB中，∵∠ABC=60°，AB=4，

∴BG= AB=2，AG= BG=2 ，

在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，

∴AG=GE=2 ，

∴EB=EG﹣BG=2 ﹣2，

∵△AEB≌△AFC，

∴AE=AF，EB=CF=2 ﹣2，

在RT△CHF中，∵∠HCF=180°﹣∠BCD=60°，CF=2 ﹣2，

∴FH=CFsin60°=（2 ﹣2） =3﹣ ．

∴点F到BC的距离为3﹣

【解析】（1）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．（2）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CFcos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题．
【考点精析】解答此题的关键在于理解菱形的性质的相关知识，掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．