Question

【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，﹣2），顶点为D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线于BE交于另一点F，连接BC

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；
（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），点M在运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？
（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明利由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），

把C（0，﹣2）代入得a（﹣1）（﹣3）=﹣2，解得a=﹣ ，

所以抛物线解析式为y=﹣ （x﹣1）（x﹣3），即y=﹣ x2+ x﹣2

（2）

解：设直线BE的解析式为y=mx+n，

把B（3，0），E（0，﹣1）代入得 ，解得 ，

∴直线BE的解析式为y= x﹣1，

同样方法可求得直线BC的解析式为y= x﹣2，

解方程组 得 或 ，则F（ ，﹣ ）；

当x=1时，y= ﹣2=﹣ ，则H（1，﹣ ），

连接AH交BE于Q，如图1，∵A（1，0），H（1，﹣ ），

∴AH⊥x轴，

∴Q（1，﹣ ），

∴HQ=﹣ + = ，

∴S△FHB=S△BHQ+S△FHQ= × ×（3﹣ ）

（3）

解：当x=2时，y=﹣ x2+ x﹣2= ，则D（2， ），

∴抛物线的对称轴为直线x=2，

直线x=2交x轴于N，如图2，MN=t+ ，ON=2，BN=1，

∵∠OMB=90°，即∠OMN+∠BMN=90°，

而∠OMN+∠MON=90°，

∴∠MON=∠BMN，

∴Rt△OMN∽Rt△MBN，

∴MN：BN=ON：MN，即MN2=BNON，

∴（t+ ）2=1×2，解得t1= ﹣ ，t2=﹣ ﹣ （舍去），

∴当t为 ﹣ 时，∠OMB=90°；

（4）

解：存在．

如图3，BP交y轴于G，

∵AB平分∠FBP，

∴∠GBO=∠EOB，

∴点G与点E关于x轴对称，

∴G（0，1），

设直线BG的解析式为y=px+q，

把G（0，1），B（3，0）代入得 ，解得 ，

∴直线BQ的解析式为y=﹣ x+1，

解方程组 得 或 ，

∴P点坐标为（ ， ）．

【解析】（1）设交点式抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）先利用待定系数法求出直线BE的解析式为y= x﹣1，直线BC的解析式为y= x﹣2，再解方程组 得F（ ，﹣ ）；接着确定H（1，﹣ ），连接AH交BE于Q，如图1，利用点A和H的横坐标特征得到AH⊥x轴，所以Q（1，﹣ ），然后利用三角形面积公式，利用S△FHB=S△BHQ+S△FHQ进行计算；（3）先求出D（2， ），直线x=2交x轴于N，如图2，证明Rt△OMN∽Rt△MBN得到MN2=BNON，即（t+ ）2=1×2，然后解方程即可；（4）如图3，BP交y轴于G，利用AB平分∠FBP得到点G与点E关于x轴对称，则G（0，1），再利用待定系数法求出直线BQ的解析式为y=﹣ x+1，然后解方程组 即可得到P点坐标．