Question

【题目】如图,已知正方形ABCD边长为3,点E在AB边上且BE=1,点P,Q分别是边BC,CD的动点(均不与顶点重合)，当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是___.

Answer 1

【答案】

【解析】

根据最短路径的求法，先确定点E关于BC的对称点E′，再确定点A关于DC的对称点A′，连接A′E′即可得出P，Q的位置；再根据相似得出相应的线段长从而可求得四边形AEPQ的面积．

如图所示：

作E关于BC的对称点E′,点A关于DC的对称点A′,连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，

∵AD=A′D=3,BE=BE′=1，

∴AA′=6,AE′=4.

∵DQ∥AE′,D是AA′的中点，

∴DQ是△AA′E′的中位线，

∴DQ=AE′=2；CQ=DCCQ=32=1，

∵BP∥AA′，

∴△BE′P∽△AE′A′，

∴，

即 ，

解得：BP=1.5，

∴CP=BCBP=31.5=1.5，

S四边形AEPQ=S正方形ABCDS△ADQS△PCQS△BEP=9ADDQCQCPBEBP=

=9 ×3×2×1××1× =，

故答案为：.