Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．

（1）求证：∠AEC=∠ACE；

（2）若∠AEC=2∠B，AD=2，求AB的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）8.

【解析】

（1）依据∠ACB=90°，CD⊥AB，即可得到∠ACD=∠B，再根据CE平分∠BCD，可得∠BCE=∠DCE，进而得出∠AEC=∠ACE；

（2）依据∠ACD=∠BCE=∠DCE，∠ACB=90°，即可得到∠ACD=30°，进而得出Rt△ACD中，AC=2AD=4，Rt△ABC中，AB=2AC=8．

解：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴∠ACD+∠A=∠B+∠A=90°，

∴∠ACD=∠B，

∵CE平分∠BCD，

∴∠BCE=∠DCE，

∴∠B+∠BCE=∠ACD+∠DCE，

即∠AEC=∠ACE；

（2）∵∠AEC=∠B+∠BCE，∠AEC=2∠B，

∴∠B=∠BCE，

又∵∠ACD=∠B，∠BCE=∠DCE，

∴∠ACD=∠BCE=∠DCE，

又∵∠ACB=90°，

∴∠ACD=30°，∠B=30°，

∴在Rt△ACD中，AC=2AD=4，

∴在Rt△ABC中，AB=2AC=8．