Question

【题目】定义：对于依次排列的多项式x+a，x+b，x+c，x+d(a，b，c，d是常数)，当它们满足在，且M为常数时，则称a，b，c，d是一组平衡数，M是该组平衡数的平衡因子，例如：对于多项式x+2，x+1，x+6，x+5，因为，所以2，1，6，5是一组平衡数，4是该组平衡数的平衡因子.

(1)已知2，4，7，9是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子M；

(2)若a，b，c，d是一组平衡数，a=-4，d=3，请直接写出组b，c的值；

(3)当a，b，c，d之间满是什么数量关系时，它们是一组平衡数，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）M=10;（2）b= -3,c=2;(3)见解析.

【解析】

观察多项式，它们的二次项在合并同类项时必然抵消，那么要使它们的差为常数，一次项也必须要互相抵消，它们在展开时，一次项依次为（a+d）x和（b+c）x，常数项依次为ad和bc，据此在组成数时a+d= b+c，M=ad-bc.

（1）(x+4)( x +7)-( x +2)( x +9)=( x 2+11 x +28)-( x 2+11 x +18)=10.

所以M=10;

（2）易得a+d= b+c，所以列出符合条件的一组即可，如：b= -3,c=2;

(3)当 a+d=b+c时，他们是一组平衡数，因为多项式(x+a)(x+d)相乘时，一次项为

（a+d）x，同理（x+b）（x+c）的一次项为（b+c）x，结果为常数，所以它们的一次项要互相抵消，所以a+d=b+c.