Question

【题目】如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，连接OD，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°．

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠B=60°．

∵DE⊥AC，

∴∠DEC=90°．

∴∠EDC=30°．

∴∠ODE=90°．

∴DE⊥OD于点D．

∵点D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切线

（2）解：如图2，连接AD，BF，

∵AB为⊙O直径，

∴∠AFB=∠ADB=90°．

∴AF⊥BF，AD⊥BD．

∵△ABC是等边三角形，

∴ ， ．

∵∠EDC=30°，

∴ ．∴FE=FC﹣EC=1

【解析】（1）要证切线，可连半径，证垂直，由已知得出O、D是中点，利用中位线定理即得DE⊥OD于点D；（2）利用直径的性质，须连BF ，求出FC，EC,进而FE=FC﹣EC=1.
【考点精析】关于本题考查的圆周角定理，需要了解顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半才能得出正确答案．