Question

【题目】已知：如图，CD、C′D′分别是Rt△ABC，Rt△A′B′C′斜边上的高，且CB=C′B′，CD=C′D′.求证：△ABC≌△A′B′C′.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】分析：欲证△ABC≌△A′B′C′，根据已知条件，已经有∠ACB=∠A′C′B′=90°，CB=C′B′，即已知一边一角，由三角形全等的判定定理可知，还需有一对角相等或者边AC=A′C′．而根据已知条件CB=C′B′，CD=C′D′，易证Rt△CDB≌Rt△C′D′B′，得出∠B=∠B′，从而根据ASA证明出△ABC≌△A′B′C′.

详解：

证明：∵CD⊥AB，C'D'⊥A'B' (已知)

∴∠CDB=∠C'D'B'=90°．(垂直的意义)

在Rt△CDB和Rt△C'D'B'中，

CB=C'B'，CD=C'D'，(已知)

∴Rt△CDB≌Rt△C'D'B'（HL），

∴∠B=∠B'，(全等三角形的对应角相等)

∵△ABC，△A'B'C'都是直角三角形 (已知)

∴∠ACB=∠A'C'B'=90°(直角三角形的意义）

在△ABC和△A'B'C'中，

∠B=∠B'

CD=C'D'

∠ACB=∠A'B'C'

∴△ABC≌△A'B'C'（ASA）