Question

【题目】如图①，点O是线段AD上一动点（不与点A、D重合），分别以AO和DO为边在AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC、BD相交于点E，连结OE.

（1）当点O为AD的中点时，求∠DEA的度数；

（2）在（1）的条件下，△ADE是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴；如果不是，说明理由；

（3）当点O不在AD的中点时，求证EO平分∠DEA．

图① 图②

Answer 1

【答案】（1）∠DEA=120°（2）△ADE是轴对称图形，它的对称轴是直线OE（3）见解析

【解析】

（1）根据已知三角形OAB和三角形OCD为等边三角形，AD=OD，可知，∠BAO=60°即可求出∠BDA 的度数，同理可求出∠CAD 的度数，后可得出∠DEA的度数.

（2）根据已知条件可以证明ΔEDO≌ΔEAO，即可得出△ADE是轴对称图形，它的对称轴是直线OE .

（3）根据已知条件可证ΔAOC≌ΔBOD，结合三角形面积公式可知点O到BD,AC的距离相等，即可证得EO平分∠DEA.

（1）为等边三角形且点O为AD的中点

根据三角函数可知，即

同理可求得

三角形内角和为，且，

（2）为等边三角形且点O为AD的中点, ,

可证ΔEDO≌ΔEAO（SAS）

可得出△ADE是轴对称图形，它的对称轴是直线OE .

（3）为等边三角形

∴可得OD=OC,OB=OA,

∴可证△AOC≌△BOD（SAS）

∴，AC＝BD

，AC＝BD

∴点O到AC、BD的距离相等(两个三角形全等，且底相等，高必然相等)

∴点O在∠DEA的角平分线上

即EO平分∠DEA