Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN=__．

Answer 1

【答案】4或6．

【解析】作出图形，然后分①点N在AC上，分AM和AB与AC是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；②点N在BC上，求出BM，再分BM和AB与BC是对应边，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．

解：如图所示，

①点N在AC上，若AM和AB是对应边，
∵△AMN∽△ABC，
∴，即，
解得MN=4，
若AM和AC是对应边，
∵△AMN∽△ACB，
∴，即，
解得MN=6；
②点N在BC上，BM=AB-AM=9-3=6，
若BM和AB是对应边，
∵△MBN∽△ABC，
∴，即，
解得MN=4，
若BM和BC是对应边，
∵△NBM∽△ABC，
∴，即，
解得MN=3，
综上所述，MN的长为3或4或6．

“点睛”本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形的对应边成比例，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．