Question

【题目】（本小题满分12分）

直线y=x+6和x轴，y轴分别交于点E，F，点A是线段EF上一动点（不与点E重合），过点A作x轴垂线，垂足是点B，以AB为边向右作长方形ABCD，AB：BC=3：4．

（1）当点A与点F重合时（图1），求证：四边形ADBE是平行四边形，并求直线DE的表达式；

（2）当点A不与点F重合时（图2），四边形ADBE仍然是平行四边形？说明理由，此时你还能求出直线DE的表达式吗？若能，请你出来．

Answer 1

【答案】（1）；（2）四边形ADBE仍然是平行四边形；.

【解析】

试题对于直线y=x+6，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出E与F坐标，

（1）当A与F重合时，根据F坐标确定出A坐标，进而确定出AB的长，由AB与BC的比值求出BC的长，确定出AD=BE，而AD与BE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到四边形AEBD为平行四边形；根据AB与BC的长确定出D坐标，设直线DE解析式为y=kx+b，将D与E坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线DE解析式；

（2）当点A不与点F重合时，四边形ADBE仍然是平行四边形，理由为：根据直线y=x+6解析式设出A坐标，进而表示出AB的长，根据A与B横坐标相同确定出B坐标，进而表示出EB的长，发现EB=AD，而EB与AD平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到四边形AEBD为平行四边形；根据BC的长求出OC的长，表示出D坐标，设直线DE解析式为y=k1x+b1，将D与E坐标代入求出k1与b1的值，即可确定出直线DE解析式．

试题解析：对于直线y=x+6，

令x=0，得到y=6；令y=0，得到x=﹣8，即E（﹣8，0），F（0，6），

（1）当点A与点F重合时，A（0，6），即AB=6，

∵AB：BC=3：4，

∴BC=8，

∴AD=BE=8，

又∵AD∥BE，

∴四边形ADBE是平行四边形；

∴D（8，6），

设直线DE解析式为y=kx+b（k、b为常数且k≠0），

将D（8，6），E（﹣8，0）代入得：，

解得：b=3，k=．

则直线DE解析式为y=x+3；

（2）四边形ADBE仍然是平行四边形，理由为：

设点A（m，m+6）即AB=m+6，OB=﹣m，即B（m，0），

∴BE=m+8，

又∵AB：BC=3：4，

∴BC=m+8，

∴AD=m+8，

∴BE=AD，

又∵BE∥AD，

∴四边形ADBE仍然是平行四边形；

又∵BC=m+8，

∴OC=2m+8，

∴D（2m+8，m+6），

设直线DE解析式为y=k1x+b1（k1、b1为常数且k1≠0），

将D与E坐标代入得：，

解得：k1=，b1=3，

则直线DE解析式为y=x+3．