Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC是切⊙O于A的切线，BC交⊙O于点D，E是劣弧 的中点，连接AE交BC于点F，若cosC= ，AC=6，则BF的长为 ．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：连接AD，作FH⊥AB于H，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴△ADC是直角三角形，
在Rt△ACD中，∵cosC= = ，
∴CD= ×6=4，
∵AC是切⊙O于A的切线，
∴AC⊥AB，
∴△CAB是直角三角形
在Rt△ACB中，∵cosC= = ，
∴BC= ×6=9，
∴BD=BC﹣CD=9﹣4=5，
∵∠EAB=∠EAD，即AF平分∠BAD，
而FD⊥AD，FH⊥AB，
∴FD=FH，
设BF=x，则DF=FH=5﹣x，
∵FH∥AC，
∴∠HFB=∠C，
在Rt△BFH中，∵cos∠BFH=cosC= = ，
∴ = ，
解得x=3，
即BF的长为3．
所以答案是：3．
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的性质定理的相关知识，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径，以及对解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．