Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为 的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（﹣1，0），点B在抛物线y=ax2+ax﹣2上．

（1）点A的坐标为 ， 点B的坐标为；
（2）抛物线的解析式为；
（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；
（4）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（0，2）；（﹣3，1）
（2）y= x2+ x﹣2
（3）

解：由（2）中抛物线的解析式可知，抛物线的顶点D（﹣ ，﹣ ），

设直线BD的关系式为y=kx+b，将点B、D的坐标代入得：

，

解得 ．

∴BD的关系式为y=﹣ x﹣ ．

设直线BD和x 轴交点为E，则点E（﹣ ，0），CE= ．

∴S△DBC= × ×（1+ ）=

（4）

解：假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：

①若以点C为直角顶点；

则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，

过点P1作P1M⊥x轴，

∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCF，∠P1MC=∠BFC=90°，

∴△MP1C≌△FBC．

∴CM=CF=2，P1M=BF=1，

∴P1（1，﹣1）；

②若以点A为直角顶点；

i）则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，

过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，

∴NP2=OA=2，AN=OC=1，

∴P2（2，1），

ii）若以点P为直角顶点．

过P3作P3G⊥y轴于G，

同理，△AGP3≌△CAO，

∴GP3=OA=2，AG=OC=1，

∴P3为（﹣2，3）．

经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y= x2+ x﹣2上，点P3（﹣2，3）不在抛物线上．

故点P的坐标为P1（1，﹣1）与P2（2，1）．

【解析】解：（1）∵C（﹣1，0），AC= ，
∴OA= =2，
∴A（0，2）；
过点B作BF⊥x轴，垂足为F，
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠BCF=90°，∠BCF+∠FBC=90°，
在△AOC与△CFB中，
∵ ，
∴△AOC≌△CFB，
∴CF=OA=2，BF=OC=1，
∴OF=3，
∴B的坐标为（﹣3，1），
故答案为：（0，2），（﹣3，1）；
·（2）∵把B（﹣3，1）代入y=ax2+ax﹣2得：
1=9a﹣3a﹣2，
解得a= ，
∴抛物线解析式为：y= x2+ x﹣2．
故答案为：y= x2+ x﹣2；
（1）先根据勾股定理求出OA的长，即可得出点A的坐标，再求出OE、BE的长即可求出B的坐标；（2）把点B的坐标代入抛物线的解析式，求出a的值，即可求出抛物线的解析式；（3）先求出点D的坐标，再用待定系数法求出直线BD的解析式，然后求出CF的长，再根据S△DBC=S△CEB+S△CED进行计算即可；（4）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：
①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1 ， 使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1 ， 过点P1作P1M⊥x轴，由全等三角形的判定定理可得△MP1C≌△FBC，再由全等三角形的对应边相等可得出点P1点的坐标；
②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2 ， 过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，由全等三角形的性质可得出点P2的坐标；点P1、P2的坐标代入抛物线的解析式进行检验即可．
③以点P为直角顶点，求出点P的坐标，再判断点P不在抛物线上．