Question

【题目】如图，在ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．

（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．

∵AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB．

∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，

∴∠ABE= ∠ABD，∠CDF= ∠CDB．

∴∠ABE=∠CDF．

∵在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（ASA）

（2）证明：∵△ABE≌△CDF，

∴AE=CF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴DE∥BF，DE=BF，

∴四边形DFBE是平行四边形，

∵AB=DB，BE平分∠ABD，

∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．

∴平行四边形DFBE是矩形

【解析】（1）由“BE平分∠ABD，DF平分∠CDB”可得∠ABE=∠CDF，结合平行四边形的性质证出△ABE≌△CDF；（2）要证四边形DFBE是矩形四边形可先证DFBE是平行四边形，再由“AB=DB，BE平分∠ABD”，可得BE⊥AD，即∠DEB=90°，所以平行四边形DFBE是矩形.
【考点精析】掌握平行四边形的性质和矩形的判定方法是解答本题的根本，需要知道平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形．