Question

【题目】如图，在平行四边形中，分别为边的中点，是对角线，过点作交的延长线于点．

（1）求证：．

（2）若，

①求证：四边形是菱形．

②当时，求四边形的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②6．

【解析】

（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，又由E、F分别为边AB、CD的中点，易得DF∥BE，DF=BE，即可判定四边形DEBF为平行四边形，则可证得DE∥BF；
（2）①由∠G=90°，AG∥DB，易证得△DBC为直角三角形，又由F为边CD的中点，即可得BF=DC=DF，则可证得：四边形DEBF是菱形；
②根据矩形的判定定理得到四边形AGBD是矩形，根据三角形的面积公式即可得到结论．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴DF=DC，BE=AB，
∴DF∥BE，DF=BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴DE∥BF；
（2）①∵AG∥BD，

∴∠G=∠DBC=90°，
∴△DBC为直角三角形，
又∵F为边CD的中点．
∴BF=DC=DF，
又∵四边形DEBF为平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形；
②∵AD∥BG，AG∥BD，∠G=90°，
∴四边形AGBD是矩形，
∴S△ABD=S△ABG=×3×4=6，
∵E为边AB的中点，
∴S△BDE=S△ABD=3，
∴四边形DEBF的面积=2S△BDE=6．