Question

【题目】如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接．

与有什么数量关系，并说明理由；

①当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由．

②当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由．

Answer 1

【答案】证明见解析； ①当时，四边形是矩形，证明见解析；②当时，四边形是菱形，证明见解析.

【解析】

（1）根据已知条件易证，根据全等三角形的对应边相等可得AF=DC，因AF=BD，所以BD=DC；

（2）①当△ABC满足AB=AC时，四边形AFBD是矩形，理由为：由，，可得到四边形AFBD为平行四边形，再由AB=AC，BD=CD，利用三线合一得到AD⊥BC，由此即可证得结论；②当时，四边形是菱形，理由：由，，可得到四边形AFBD为平行四边形；又因，，根据直角三角形斜边中线的性质可得，由此即可证得结论．

=.

证明：∵是的中点，

∴，

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴．

①当时，四边形是矩形．

证明：∵，，

∴四边形是平行四边形，

∵，，

∴，

∴，

∴四边形是矩形．

②当时，四边形是菱形．

证明：：∵，，

∴四边形是平行四边形，

∵，，

∴，

∴四边形是菱形．