Question

【题目】数学课上，老师出示了如下的题目：如图（1），在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，试判断AE和BD的大小关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图（2），确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“>”，“<”或“=”）；

（2）特例启发，解答题目

如图（1），试判断AE和BD的大小关系，并说明理由；

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC；若△ABC的边长为1，AE=2，请画出图形，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）详见解析；（3）1或3.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得到∠BCE=∠ACE=30°，∠ABC=60°，根据等腰三角形的判定定理BD=BE，根据点E为AB的中点解答；

（2作EF∥BC交AC于F．证明△DBE≌△EFC，推出BD=EF=AE，推出BD=AE，即可得到结论；

（3）分两种情形讨论，当E在BA的延长线上时，作EF∥AC交BD的延长线于F，易证△EBD≌△EFC，可得BD=CF=AE=2，CD=BD﹣BC=2﹣1=1；当E在AB的延长线上时，作EF∥BC交AC的延长线于F，易证△EBD≌△CFE，可得BD=EF=AE=2，CD=BD+BC=2+1=3．由此即可解决问题．

∵△ABC是等边三角形，AE=EB，∴∠BCE=∠ACE=30°，∠ABC=60°．

∵ED=EC，∴∠D=∠ECD=30°．

∵∠EBC=∠D+∠BED，∴∠D=∠BED=30°，∴BD=BE=AE．

故答案为：=；

（2）结论：AE=BD．

理由如下：如图（2），作EF∥BC交AC于F．

∵EF∥BC，∴∠AEF=∠B=60°，∠ECD=∠CEF，∴∠D=∠CEF．

∵∠AEF=∠B=60°，∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，∠AFE=60°，∴∠EFC=∠DBE=120°．

∵AB=AC，AE=AF，∴BE=CF．

∵ED=EC，∴∠D=∠ECD．

在△DBE和△FEC中，∵，∴△DBE≌△EFC（AAS），∴BD=EF，∴BD=AE．

（3）如图（4）中，当E在BA的延长线上时，作EF∥AC交BD的延长线于F，则△EBD≌△EFC（AAS），∴BD=CF=AE=2，CD=BD﹣BC=2﹣1=1．

如图（5）中，当E在AB的延长线上时，作EF∥BC交AC的延长线于F，则△EBD≌△CFE（AAS），∴BD=EF=AE=2，CD=BD+BC=2+1=3．

综上所述：CD的长为1或3．

故答案为：1或3．