Question

【题目】如图，PB切⊙O于点B，联结PO并延长交⊙O于点E，过点B作BA⊥PE交⊙O于点A，联结AP，AE．

（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）如果OD=3，tan∠AEP= ，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图，连结OA，OB，

∵PB是⊙O的切线，

∴∠PBO=90°，

∵OA=OB，BA⊥PE于点D，

∴∠POA=∠POB，

在△PAO和△PBO中，

，

∴△PAO≌△PBO（SAS），

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∴PA⊥OA，

∴直线PA为⊙O的切线

（2）在Rt△ADE中，∠ADE=90°，

∵tan∠AEP= = ，

∴设AD=x，DE=2x，

∴OE=2x﹣3．

在Rt△AOD中，由勾股定理，得

（2x﹣3）2=x2+32，

解得x1=4，x2=0（不合题意，舍去），

∴AD=4，OA=OE=2x﹣3=5，

即⊙O的半径的长5．

【解析】（1）连接OA、OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，∠POA=∠POB，继而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论．（2）根据tan∠AEP= 得出 = ，设AD=x，DE=2x，在Rt△AOD中，由勾股定理得出x，进而就可求得⊙O的半径．
【考点精析】通过灵活运用勾股定理的概念和切线的判定定理，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线即可以解答此题．