Question

【题目】如图，过y轴上一点P（0，1）作平行于x轴的直线PB，分别交函数y1=x2（x≥0）与y2= （x≥0）的图象于A1 ， B1两点，过点B1作y轴的平行线交y1的图象于点A2 ， 再过A2作直线A2B2∥x轴，交y2的图象于点B2 ， 依次进行下去，连接A1A2 ， B1B2 ， A2A3 ， B2B3 ， …，记△A2A1B1的面积为S1 ， △A2B1B2的面积为S2 ， △A3A2B2的面积为S3 ， △A3B2B3的面积为S4 ， …则S2016=

Answer 1

【答案】31511（ ﹣1）
【解析】解：如图，

当y=1时，由x2=1 （x≥0），得：x=1，即点A1（1，1），
由 =1（x≥0），得：x= ，即B1（ ，1），
当x= 时，y=x2=（ ）2=3，即A2（ ，3），
∴A1B1= ﹣1、A2B1=2；
当y=3时，由 =3（x≥0），得：x=3，即B2（3，3），
当x=3时，y=x2=32=9，即A3（3，9），
∴A2B2=3﹣ 、A3B2=6；
当y=9时，由 =9（x≥0），得：x=3 ，即B3（3 ，9），
∴A3B3=3 ﹣3；
当x=3 时，y=x2=（3 ）2=27，即A4（3 ，27），
∴A4B3=18；
当y=27是，由 =27（x≥0），得：x=9，即B4（9，27），
∴A4B4=9﹣3 ；
则S1= ×2×（ ﹣1）= ﹣1，
S2= ×2×（3﹣ ）=3﹣ = （ ﹣1），
S3= ×6×（3﹣ ）=3（3﹣ ）=3 （ ﹣1），
S4= ×6×（3 ﹣3）=9（ ﹣1），
S5= ×18×（3 ﹣3）=27（3 ﹣3）=（3 ）2×（ ﹣1），
∴S2015= ×（ ﹣1）=（3 ）1007（ ﹣1），
S2016= S2015=（3 ）1007（ ﹣1）× =31511（ ﹣1），
所以答案是：31511（ ﹣1）．