Question

【题目】如图（1），在等边三角形中，是边上的动点，以为一边，向上作等边三角形，连接．

（1）和全等吗？请说明理由；

（2）试说明：；

（3）如图（2），将动点运动到边的延长线上，所作三角形仍为等边三角形，请问是否仍有？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）和全等，理由见解析；（2）过程见解析；（3）仍有，理由见解析.

【解析】

（1）要证两个三角形全等，已知的条件有：AC=BC，CE=CD，且∠BCD和∠ACE都是60°减去一个∠ACD，即可证明两个三角形全等；

（2）根据△DBC≌△EAC可得∠EAC=∠B=60°，又∠ACB=60°，所以∠EAC=∠ACB，即可得出结论；

（3）结合（1）（2）问的思路证明即可得出答案.

解：（1）和全等

证明：∵△ABC和△DEC均为等边三角形

∴∠ACB=∠ECD=60°，BC=AC,CD=CE

又∠ACB=∠BCD+∠ACD

∠ECD=∠ECA+∠ACD

∴∠BCD=∠ECA

在△DBC和△EAC中

∴△DBC≌△EAC（SAS）

（2）∵△DBC≌△EAC

∴∠EAC=∠B=60°

又∠ACB=60°

∴∠EAC=∠ACB

∴AE∥BC

（3）仍有AE∥BC

理由：∵△ABC和△DEC均为等边三角形

∴∠ACB=∠ECD=60°，BC=AC,CD=CE

∴∠BCA+∠ACD=∠ACD+∠DCE

∴∠BCD=∠ACE

在△DBC和△EAC中

∴△DBC≌△EAC（SAS）

∴∠EAC=∠B=60°

又∠ACB=60°

∴∠EAC=∠ACB

∴AE∥BC