Question

【题目】如图，在△ABD中，C为BD上一点，使得CA＝CD，过点C作CE∥AD交AB于点E，过点D作DF⊥AD交AC的处长线于点F．

（1）若CD＝3，求AF的长；

（2）若∠B＝30°，∠ADC＝40°，求证：AC＝EC．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）证明见解析

【解析】

（1）由等腰三角形的性质可得∠CAD＝∠CDA，由余角的性质可得∠F＝∠CDF，可得CD＝CF＝3，即可求解；

（2）由三角形内角和定理可求∠CAB＝70°，由平行线的性质和外角的性质可求∠AEC＝∠CAB＝70°，即可求解．

解：（1）∵CA＝CD＝3，

∴∠CAD＝∠CDA，

∵AD⊥DF，

∴∠ADF＝90°，

∴∠F+∠FAD＝90°，∠ADC+∠CDF＝90°，

∴∠F＝∠CDF，

∴CD＝CF＝3，

∴AF＝AC+CF＝6；

（2）∵∠B＝30°，∠ADC＝∠CAD＝40°，

∴∠CAB＝180°﹣30°﹣40°﹣40°＝70°，

∵CE∥AD，

∴∠BCE＝∠ADC＝40°，

∴∠AEC＝∠B+∠BCE＝70°，

∴∠AEC＝∠CAB，

∴AC＝CE．