Question

【题目】求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法﹣﹣更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数．
例如：求91与56的最大公约数
解：
请用以上方法解决下列问题：

（1）求108与45的最大公约数；
（2）求三个数78、104、143的最大公约数．

Answer 1

【答案】
（1）解：108﹣45=63，

63﹣45=18，

27﹣18=9，

18﹣9=9，

所以108与45的最大公约数是9

（2）解：先求104与78的最大公约数，

104﹣78=26，

78﹣26=52，

52﹣26=26，

所以104与78的最大公约数是26；

再求26与143的最大公约数，

143﹣26=117，

117﹣26=91，

91﹣26=65，

65﹣26=39，

39﹣26=13，

26﹣13=13，

所以，26与143的最大公约数是13，

∴78、104、143的最大公约数是13

【解析】（1）根据题目，首先弄懂题意，然后根据例子写出答案即可；（2）可以先求出104与78的最大公约数为 26，再利用辗转相除法，我们可以求出26 与 143的最大公约数为13，进而得到答案．本题考查的知识点是辗转相除法与更相减损术，求三个或三个以上数的最大公约数，可以先求前两个数的最大公约数，再求所得最大公约数与第三个数的最大公约数最后得到答案．