Question

【题目】如图，在矩形中，，，平分，过点作于点，延长，交于点，下列结论中：①；②；③；④．正确的是（ ）

A.②③B.③④C.①②④D.②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

求出OA=OC=OD=OB，求出∠ADB=30°，求出∠ABO=60°，得出等边三角形AOB，求出AB=BO=AO=OD=OC=DC，推出BF=AB，求出∠H=∠CAH=15°，求出DE=EO，根据以上结论推出即可．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=90°，

∵AD= ，AB=1，

,

∴∠ADB=30°，

∴∠ABO=60°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，

∴AO=BO，

∴△ABO是等边三角形，

∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE，

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF=45°，

∵AD∥BC，

∴∠DAF=∠AFB，

∴∠BAF=∠AFB，

∴AB=BF，

∵AB=BO，

∴BF=BO，

∴②正确；

∵∠BAO=60°，∠BAF=45°，

∴∠CAH=15°，

∵CE⊥BD，

∴∠CEO=90°，

∵∠EOC=60°，

∴∠ECO=30°，

∴∠H=∠ECO-∠CAH=30°-15°=15°=∠CAH，

∴AC=CH，

∴③正确；

作HG⊥BC的延长线于点G，

∴HG∥AB，∠BAF=∠FHG=45°，

∴∠CHG=∠FHG-∠H=45°-15°=30°，

∵AB=1，AD= ，

∴BD=AC=CH=2，

∴,

∵∠BAF=∠FHG=45°，∠AFB=∠HFG，

∴△ABF∽△HGF，

即

，

故①错误；

∵△AOB是等边三角形，

∴AO=OB=AB，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，

∴DC=OC=OD，△COD是等边三角形，

∵CE⊥BD，

，

即BE=3ED，∴④正确；

即正确的有②③④3个，

故选：D．