Question

【题目】已知，菱形中，，、分别是边和上的点，且．

（1）求证：

（2）如图2，在延长线上，且，求证：

（3）如图3，在（2）的条件下，，，是的中点，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）7

【解析】

（1）连接AC，如图1，根据菱形的性质得AB=BC，而∠B=60°，则可判定△ABC为等边三角形，得到∠BAC=60°，AC=AB，易得∠ACF=60°，∠BAE=∠CAF，然后利用ASA可证明△AEB≌△AFC，即可解答；

（2）过点F作FH∥AB，交CB的延长线于点H，利用平行线的性质求得△FHC是等边三角形，得到CF=CH=FH，然后利用AAS定理求得△HBF≌△CEF，从而问题得解；

（3）过点B作BK∥FC，交HF于点K，根据两组对边分别平行求得四边形KBAF是平行四边形，从而求得，FK=16，过点A作AM⊥FH，然后利用含30°的直角三角形的性质求得MF=,，从而求得KM=13，然后利用勾股定理求解即可．

解：（1）连接AC，如图1，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=BC，

∵∠B=60°，

∴△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=60°，AC=AB，

∴∠BAE+∠EAC=60°，

∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠ACP=60°，

∵∠EAP=60°，即∠EAC+∠CAP=60°，

∴∠BAE=∠CAP，

在△AEB和△APC中， ，

∴△AEB≌△APC，

∴BE=CF

∴；

（2）过点F作FH∥AB，交CB的延长线于点H

∵FH∥AB

∴∠H=∠CGH=60°

∴△FHC是等边三角形

∴CF=CH=FH

又∵△ABC是等边三角形

∴CA=CB

∴AF=BH

又∵FB=FE

∴∠FEB=∠FEB，即∠FBH=∠FEC

在△HBF和△CEF中

∴△HBF≌△CEF

∴BH=EC

∴AF=EC

（3）过点B作BK∥FC，交HF于点K，

∵BK∥FC，FH∥AB

∴四边形KBAF是平行四边形

∴KB=AF=EC=6，

∴FK=AB=BC=BE+EC=BE+AF=16

过点A作AM⊥FH

由（2）可知，∠CFH=60°

∴在Rt△AMF中，∠MAF=30°

∴MF=,

∴KM=16-3=13

在Rt△AKM中，

∴AO=7．