Question

【题目】如图，在平面直角坐标系内，点为坐标原点，的顶点在轴正半轴，顶点、分别在轴负半轴和正半轴上，，，

（1）求的长．

（2）动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点运动的时间为，以为斜边在右边上方作等腰直角三角形，连接、，设的面积为（），求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．

（3）在（2）的条件下，过点作的垂线交轴于，连接，当四边形的面积为，时，求的值及点坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S=2t（0≤t≤4）；（3）Q（0，-2）．

【解析】

（1）根据三角形面积公式求得BC的长，然后根据等腰三角形的性质求OB的长，从而利用勾股定理求解；

（2）作PM⊥BC于N，DH⊥PC于H．利用勾股定理求出PC的长（用t表示）即可解决问题；
（3）作PN⊥y轴于N，DK⊥PN于K，DH⊥PC于H，连接AH、DH．首先证明A、P、D、C四点共圆，推出∠DAC=∠DPC=45°，∠DAO=90°，由△PNQ≌△DKP，可得DP=PQ=DC，可得四边形PQCD是正方形，根据题意列出方程即可解决问题；

解：∵

∴BC=8

又∵的顶点在轴正半轴，顶点、分别在轴负半轴和正半轴上，，

∴OB=OC=，

∴在Rt△OAB中，

（2）如图1中，作DM⊥X轴于M，PK⊥DM于K交y轴于N，DH⊥PC于H，作PE⊥x轴于E，连接AH、DH．

由（1）可知，OA=OB=4

∴∠BAO=∠CAO=45°，即∠BAC=90°

又∵△PCD是等腰直角三角形

∴AH=DH=HP=HC，

∴A、P、D、C四点共圆，

∴∠DAC=∠DPC=45°，

∴∠DAO=90°，

∵∠DPK+∠PDM=90°，∠PDM+∠MDC=90°，

∴∠DPK=∠MDC，

∵∠PKD=∠DMC=90°，DP=DC，

∴△PDK≌△DCM，

∴PK=DM=OA=4，

∵OA=OB，∠AOB=90°，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∵PE⊥BC，

∴∠PEB=90°，

∴∠PBE=∠BPE=45°，

∵PB=t，

由题意可知，四边形PEON为矩形

∴PE=BE=t，ON=4-t，

∴CM=DK=AN=OA=ON=OA-PE=4-t，

∴AD=4-（4-t）=t，

∴S=t4=2t（0≤t≤4）．

（3）如图2中，

由（2）可知：PE=BE=t，ON=4-t，CE=8-t，

在Rt△PCE中，PC2=t2+（8-t）2=2t2-16t+64，

∵△PDC是等腰直角三角形，DH⊥PC，

∴PH=CH=DH，

∴S△PDC==（0≤t≤4）．

易知AN=PN=DK，∠QPN=∠PDK，∠PNQ=∠PKD=90°，

∴△PNQ≌△DKP，

∴DP=PQ=DC，∵PQ∥DC，

∴四边形PQCD是平行四边形，

∵∠DPQ=90°，

∴四边形PQCD是矩形，

∵PD=PQ，

∴四边形PQCD是正方形，

由题意：2（）=，

2（）=10t

整理得t2-8t+32=0，

解得：t=2或16（舍弃），

∴t=2时，四边形PDCQ的面积为20，

此时PC=2，PQ=2，PN=2，ON=2，NQ==4，

∴OQ=QN-ON=2，

∴Q（0，-2）．