Question

【题目】问题情景：如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°，求∠APC的度数.

(1)天天同学看过图形后立即口答出：∠APC=110°，请你补全他的推理依据.

如图2,过点P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD.(___)

∴∠A+∠APE=180°.

∠C+∠CPE=180°.(___)

∵∠PAB=130°,∠PCD=120°，

∴∠APE=50°,∠CPE=60°

∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.(___)

问题迁移：

(2)如图3,AD∥BC，当点P在A. B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有何数量关系?请说明理由。

(3)在(2)的条件下,如果点P在A. B两点外侧运动时(点P与点A. B. O三点不重合)，请你直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行同旁内角互补；等量代换；（2）∠CPD =∠α+∠β；（3）∠CPD=∠β∠α，∠CPD=∠α∠β.

【解析】

（1）根据平行线的判定与性质填写即可；

（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；

（3）画出图形（分两种情况①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．

(1)过点P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD.(平行于同一条直线的两条直线平行)

∴∠A+∠APE=180°.

∠C+∠CPE=180°.(两直线平行同旁内角互补)

∵∠PAB=130°,∠PCD=120°，

∴∠APE=50°,∠CPE=60°

∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.(等量代换)

故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行同旁内角互补；等量代换.

(2)∠CPD=∠α+∠β，

理由是：如图3,过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；

(3)当P在BA延长线时，

过P作PE∥AD交CD于E，如图4

同(2)可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠β∠α；

当P在AB延长线时，过P作PE∥AD交CD于E，如图5

同(2)可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠α∠β.