Question

【题目】已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．
（1）如图①，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）： ①；②；③ ．
（2）如图②，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线．
（3）如图③，AB是非直径的弦，∠CAE=∠ABC，EF还是⊙O的切线吗？若是，请说明理由；若不是，请解释原因．

Answer 1

【答案】
（1）AB⊥EF、；∠BAE=90°；∠ABC=∠EAC
（2）证明：如图2，作直径AD，连结CD，

∵AD为直径，

∴∠ACD=90°，

∴∠D+∠CAD=90°，

∵∠D=∠B，∠CAE=∠B，

∴∠CAE=∠D，

∴∠EAC+∠CAD=90°，

∴AD⊥EF，

∴EF为⊙O的切线；

（3）如图3，作直径AD，连结CD，BD，

∵AD为直径，

∴∠ABD=90°，

∵∠CAE=∠ABC，

∴∠DAE+∠DAC=∠ABD+∠DBC，

而∠DAC=∠DBC，

∴∠DAE=∠ABD=90°，

∴AD⊥EF，

∴EF为⊙O的切线．

【解析】（1）解：当AB⊥EF或∠BAE=90°可判断EF为⊙O的切线； 当∠ABC=∠EAC，∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠EAC+∠CAB=90°，
∴AB⊥EF，
∴EF为⊙O的切线；
所以答案是AB⊥EF、∠BAE=90°、∠ABC=∠EAC；

【考点精析】掌握切线的判定定理是解答本题的根本，需要知道切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．