Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，AB=4，E，F分别是边BC，CD边上的动点，且AE=AF，设△AEF的面积为y，EC的长为x．

（1）求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当x取何值时，△AEF的面积最大，最大面积是多少？
（3）在直角坐标系中画出y关于x的函数的图象．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在正方形ABCD中，AB=AD，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE=DF，

∴CE=CF，

∵CE=x，

∴BE=DF=4﹣x，

∴y=42﹣2× ×4×（4﹣x）﹣ x2，

=﹣ x2+4x，

即y=﹣ x2+4x．

∵E、F分别是BC、CD边上的动点，且保证A、E、F能构成三角形，

∴x的取值范围是：0≤x≤4

（2）

解：∵y=﹣ x2+4x=﹣ （x﹣4）2+8，0＜x≤4，

∴当x=4时，△AEF的面积最大，最大面积是8

（3）

解：如图所示，

【解析】（1）根据正方形的性质可得AB=AD，再利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，然后求出CE=CF，再根据△AEF的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积列式整理即可得解；（2）结合（1）中二次函数解析式和x的取值范围来求△AEF的面积的最大值；（3）利用（1）中二次函数解析式画出函数图象，注意x的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的函数的图象和三角形三边关系，需要了解函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成；图像上每一点坐标（x，y）代表了函数的一对对应值，他的横坐标x表示自变量的某个值，纵坐标y表示与它对应的函数值；三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边；不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边才能得出正确答案．