Question

【题目】对平面直角坐标系中的点P（x，y），定义d=|x|+|y|，我们称d为P（x，y）的幸福指数．对于函数图象上任意一点P（x，y），若它的幸福指数d≥1恒成立，则称此函数为幸福函数，如二次函数y=x2+1就是一个幸福函数，理由如下：设P（x，y）为y=x2+1上任意一点，d=|x|+|y|=|x|+|x2+1|，∵|x|≥0，|x2+1|=x2+1≥1，∴d≥1．∴y=x2+1是一个幸福函数．

（1）若点P在反比例函数y=的图象上，且它的幸福指数d=2，请直接写出所有满足条件的P点坐标；

（2）一次函数y=﹣x+1是幸福函数吗？请判断并说明理由；

（3）若二次函数y=x2﹣（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函数，试求出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）满足条件的P点坐标为（﹣1，﹣1）或（1，1）；

（2）一次函数y=﹣x+1是幸福函数，理由见解析；

（3）若二次函数y=x2﹣（2m+1）x+m2+m（m＞0）是幸福函数，m的取值范围为m≥2．

【解析】试题分析：（1）设点P的坐标为（m， ），根据幸福指数的定义，即可得出关于m的分式方程，解之经检验即可得出结论；

（2）设P（x，y）为y＝－x＋1上的一点，分x＜0、0≤x≤1和x＞1三种情况找出d的取值范围，由此即可得出一次函数y＝－x＋1是幸福函数；

（3）设P（x，y）为y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m上的一点，由y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝(x－m)(x－m－1)且m＞0，可知分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m＋1、x＞m＋1四段寻找m的取值范围，利用配方法以及二次函数的性质结合幸福函数的定义即可求出m的取值范围，综上即可得出结论．

试题解析：

解：（1）设点P的坐标为（m， ），

∴d＝|m|＋||＝2，

解得：m1＝﹣1，m2＝1，

经检验，m1＝﹣1，m2＝1是原分式方程的解，

∴满足条件的P点坐标为（﹣1，﹣1）或（1，1）．

（2）一次函数y＝﹣x＋1是幸福函数，理由如下：

设P（x，y）为y＝﹣x＋1上的一点，d＝|x|＋|y|＝|x|＋|﹣x＋1|，

当x＜0时，d＝|x|＋|﹣x＋1|＝﹣x﹣x＋1＝1﹣2x＞1；

当0≤x≤1时，d＝|x|＋|﹣x＋1|＝x﹣x＋1＝1；

当x＞1时，d＝|x|＋|﹣x＋1|＝x＋x﹣1＝2x﹣1＞1．

∴对于y＝﹣x＋1上任意一点P（x，y），它的幸福指数d≥1恒成立，

∴一次函数y＝﹣x＋1是幸福函数．

（3）设P（x，y）为y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m上的一点，d＝|x|＋|y|＝|x|＋|x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m|，

∵y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝(x－m)(x－m－1)，m＞0，

∴分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m＋1、x＞m＋1考虑．

①当x≤0时，d＝|x|＋|x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m|＝﹣x＋x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m＝(x﹣m﹣1)2﹣m﹣1，

当x＝0时，d取最小值，最小值为m2＋m，

∴m2＋m≥1，

解得：m≥；

②0＜x＜m时，d＝|x|＋|x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m|＝x＋x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m ＝(x﹣m)2＋m﹣1≥1，

∵(x﹣m)2≥0，

∴m﹣1≥1，

解得：m≥2；

③当m≤x≤m＋1时，d＝|x|＋|x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m|＝x－x2＋(2m＋1)x－m2－m ＝﹣(x﹣m﹣1)2＋m＋1，

当x＝m时，d取最小值，最小值为m，

∴m≥1；

④当x＞m＋1时，d＝|x|＋|x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m|＝x＋x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m＝(x﹣m)2＋m﹣1＞m≥1，

∴m≥1．

综上所述：若二次函数y＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m（m＞0）是幸福函数，m的取值范围为m≥2．