Question

【题目】探究

问题1 已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF交于点M，连接DE，DF．若DE=kDF，则k的值为　 　．

拓展

问题2 已知：如图2，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE=DF．

推广

问题3 如图3，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）DE=DF，理由见解析.

【解析】

（1）利用直角三角形的性质“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”得到DE=DF；

（2）利用等腰三角形的性质和判定得出结论，从而判定△MEB≌△MFA（AAS），得到DE=DF．

（3）利用三角形的中位线和直角三角形的性质根据SAS证明△DHE≌△FGD可得．

（1）∵AE⊥BC，BF⊥AC

∴△AEB和△AFB都是直角三角形

∵D是AB的中点

∴DE和DF分别为Rt△AEB和Rt△AFB的斜边中线

∴DE=AB，DF=AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）

∴DE=DF

∵DE=kDF

∴k=1

（2）∵CB=CA

∴∠CBA=∠CAB

∵∠MAC=∠MB

∴∠CBA﹣∠MBC=∠CAB﹣∠MAC

即∠ABM=∠BAM

∴AM=BM

∵ME⊥BC，MF⊥AC

∴∠MEB=∠MFA=90

又∵∠MBE=∠MAF

∴△MEB≌△MFA（AAS）

∴BE=AF

∵D是AB的中点，即BD=AD

又∵∠DBE=∠DAF

∴△DBE≌△DAF（SAS）

∴DE=DF

（3）DE=DF

如图1，作AM的中点G，BM的中点H，

∵点 D是 边 AB的 中点

∴DG∥BM，DG=BM

同理可得：DH∥AM，DH=AM

∵ME⊥BC于E，H 是BM的中点

∴在Rt△BEM中，HE=BM=BH

∴∠HBE=∠HEB

∠MHE=∠HBE+∠HEB=2∠MBC

又∵DG=BM，HE=BM

∴DG=HE

同理可得：DH=FG，∠MGF=2∠MAC

∵DG∥BM，DH∥GM

∴四边形DHMG是平行四边形

∴∠DGM=∠DHM

∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC

又∵∠MBC=∠MAC

∴∠MGF=∠MHE

∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE

∴∠DGF=∠DHE

在△DHE与△FGD中

，

∴△DHE≌△FGD（SAS），

∴DE=DF