Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线．

（1）求证：∠AFC=120°；

（2）若AD=6，CE=4，求AC的长？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AC=10．

【解析】

（1）由题意∠BAC+∠BCA=120°，根据∠AFC=180﹣∠FAC﹣∠FCA=180﹣=120°，即可解决问题；（2）在AC上截取AG=AD=6，连接FG．只要证明△ADF≌△AGF（SAS），推出∠AFD=∠AFG=60°，∠GFC=∠CFE=60°，再证明△CGF≌△CEF（ASA），推出CG=CE=4，由此即可解决问题．

（1）∵AE、CD分别为△ABC的角平分线，

∴∠FAC=，∠FCA=，

∵∠B=60°

∴∠BAC+∠BCA=120°，

∴∠AFC=180﹣∠FAC﹣∠FCA=180°﹣×120°=120°．

（2）在AC上截取AG=AD=6，连接FG．

∵AE、CD分别为△ABC的角平分线

∴∠FAC=∠FAD，∠FCA=∠FCE，

∵∠AFC=120°，

∴∠AFD=∠CFE=60°，

在△ADF和△AGF中

，

∴△ADF≌△AGF（SAS）

∴∠AFD=∠AFG=60°，

∴∠GFC=∠CFE=60°，

在△CGF和△CEF中

，

∴△CGF≌△CEF（ASA），

∴CG=CE=4，

∴AC=10．