Question

【题目】如图，分别以 Rt△ ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边△ ACD，等边△ ABE.已知∠ABC＝60°，EF⊥AB，垂足为 F，连接 DF.

(1)证明：△ACB≌△EFB；

(2)求证：四边形 ADFE 是平行四边形．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）见详解.

【解析】

（1）由△ABE是等边三角形可知：AB=BE，∠EBF=60°，于是可得到∠EFB=∠ACB=90°，∠EBF=∠ABC，接下来依据AAS证明△ABC≌△EBF即可；

（2）由△ABC≌△EBF可得到EF=AC，由△ACD是的等边三角形进而可证明AC=AD=EF，然后再证明∠BAD=90°，可证明EF∥AD，故此可得到四边形EFDA为平行四边形．

解：（1）证明：∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，

∴∠EBF=60°，AE=BE，∠EFB=90°．

又∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，

∴∠EFB=∠ACB，∠EBF=∠ABC．

∵BE=BA，

∴△ABC≌△EBF（AAS）.

（2）证明：∵△ABC≌△EBF，

∴EF=AC．

∵△ACD是的等边三角形，

∴AC=AD=EF，∠CAD=60°，

又∵Rt△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=30°，

∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，

∴∠EFA=∠BAD=90°，

∴EF∥AD．

又∵EF=AD，

∴四边形EFDA是平行四边形．