Question

【题目】已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在⊙O上，连接PQ．

（1）如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；

（2）如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D．

①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；

②求线段PQ的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①OQ⊥AC，理由见试题解析；②．

【解析】试题分析：（1）如图①，连接OQ．利用切线的性质和勾股定理来求PQ的长度；

（2）如图②，连接BC．由三角形中位线得到BC∥OQ．利用圆周角定理得到BC⊥AC，故OQ⊥AC；

（3）利用割线定理来求PQ的长度．

试题解析：（1）如图①，连接OQ．∵线段PQ所在的直线与⊙O相切，点Q在⊙O上，∴OQ⊥OP．又∵BP=OB=OQ=2，∴PQ===，即PQ=；

（2）OQ⊥AC．理由如下：如图②，连接BC．∵BP=OB，∴点B是OP的中点，又∵PC=CQ，∴点C是PQ的中点，∴BC是△PQO的中位线，∴BC∥OQ．又∵AB是直径，∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，∴OQ⊥AC；

（3）如图②，PCPQ=PBPA，即=2×6，解得PQ=．