Question

【题目】已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．

（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC=180°；

（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系；

（3）在（2）的条件下，若∠BAC=60°，试说明：EF=ED．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.

【解析】分析：（1）根据余角的性质得到∠DEC=∠BAC，由于∠DEC+∠BEC=180°，即可得到结论；（2）根据角平分线的性质得到∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，于是得到结论；（3）作∠BEC的平分线EM交BC于M，由∠BAC=60°，得到∠BEC=90°+∠BAC=120°，求得∠FEB=∠DEC=60°，根据角平分线的性质得到∠BEM=60°，推出△FBE≌△EBM，根据全等三角形的性质得到EF=EM，同理DE=EM，即可得到结论．

本题解析：

(1)∵BD⊥AC，CF⊥AB，

∴∠DCE+∠DEC=∠DCE+∠FAC=90°，

∴∠DEC=∠BAC,∠DEC+∠BEC=180°，

∴∠BAC+∠BEC=180°；

(2)∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，

∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠ACB,∠BEC=180°(∠EBC+∠ECB)=180° (∠ABC+∠ACB)=180 (180°∠BAC)=90°+∠BAC，

(3)作∠BEC的平分线EM交BC于M，

∵∠BAC=60°，

∴∠BEC=90°+∠BAC=120°，

∴∠FEB=∠DEC=60°，

∵EM平分∠BEC，

∴∠BEM=60°，

在△FBE与△EBM中，

∠FBE=∠EBMBE=BE∠FEB=∠MEB，

∴△FBE≌△EBM，

∴EF=EM，同理DE=EM，

∴EF=DE.