Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方），若FG=2 DQ，求点F的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当y=0时，﹣x2﹣2x+3=0，解得x1=1，x2=﹣3，则A（﹣3，0），B（1，0）；当x=0时，y=﹣x2﹣2x+3=3，则C（0，3）；

（2）

解：抛物线的对称轴为直线x=﹣1，

设M（x，0），则点P（x，﹣x2﹣2x+3），（﹣3＜x＜﹣1），

∵点P与点Q关于直线=﹣1对称，

∴点Q（﹣2﹣x，﹣x2﹣2x+3），

∴PQ=﹣2﹣x﹣x=﹣2﹣2x，

∴矩形PMNQ的周长=2（﹣2﹣2x﹣x2﹣2x+3）=﹣2x2﹣8x+2=﹣2（x+2）2+10，

当x=﹣2时，矩形PMNQ的周长最大，此时M（﹣2，0），

设直线AC的解析式为y=kx+b，

把A（﹣3，0），C（0，3）代入得 ，解得 ，

∴直线AC的解析式为y=3x+3，

当x=﹣2时，y=x+3=1，

∴E（﹣2，1），

∴△AEM的面积= ×（﹣2+3）×1= ；

（3）

解：当x=﹣2时，Q（0，3），即点C与点Q重合，

当x=﹣1时，y=﹣x2﹣2x+3=4，则D（﹣1，4），

∴DQ= = ，

∴FG=2 DQ=2 × =4，

设F（t，﹣t2﹣2t+3），则G（t，t+3），

∴GF=t+3﹣（﹣t2﹣2t+3）=t2+3t，

∴t2+3t=4，解得t1=﹣4，t2=1，

∴F点坐标为（﹣4，﹣5）或（1，0）．

【解析】（1）解方程﹣x2﹣2x+3=0可得A点和B点坐标；计算自变量为0时的函数值可得到C点坐标；（2）先确定抛物线的对称轴为直线x=﹣1，设M（x，0），则点P（x，﹣x2﹣2x+3），（﹣3＜x＜﹣1），利用对称性得到点Q（﹣2﹣x，﹣x2﹣2x+3），PQ=﹣2﹣2x，所以矩形PMNQ的周长=2（﹣2﹣2x﹣x2﹣2x+3），利用二次函数得到当x=﹣2时，矩形PMNQ的周长最大，此时M（﹣2，0），接着利用待定系数法确定直线AC的解析式为y=3x+3，从而得到E（﹣2，1），然后根据三角形面积公式求解；（3）当x=﹣2时得到Q（0，3），再确定D（﹣1，4），则DQ= ，所以FG=2 DQ=4，设F（t，﹣t2﹣2t+3），则G（t，t+3），所以GF=t+3﹣（﹣t2﹣2t+3）=t2+3t，于是得到方程t2+3t=4，然后解方程求出t即可得到F点坐标．