Question

【题目】如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，点D是BC边上的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：四边形AEDF是正方形．

Answer 1

【答案】见详解

【解析】

由于AB＝AC，那么∠B＝∠C，而DE⊥AB，DF⊥AC可知∠BED＝∠CFD＝90°，又∵D是BC中点，可知BD＝CD，利用AAS可证△BED≌△CFD，从而有DE＝DF．再由∠AED＝∠AFD＝∠A＝90°可知四边形AEDF为矩形，从而可得四边形AEDF为正方形．

证明：∵在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，

∴AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠BED＝∠CFD＝∠AED＝∠AFD＝90°，

又∵D是BC中点，

∴BD＝CD，

在△BED与△CFD中，

∴△BED≌△CFD（AAS），

∴DE＝DF．

∵∠A＝∠AED＝∠AFD＝90°

∴四边形AEDF为矩形，

又∵DE＝DF，

∴矩形AEDF为正方形．