Question

【题目】如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧 于点D，连接CD、OD．下列结论：①AC∥OD；②CE=OE；③∠OED=∠AOD；④CD=DE．其中正确结论的个数有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①∵AB是半圆直径， ∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=∠DAO= ∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴①正确．②过点E作EF⊥AC，

∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴OE=EF，
在Rt△EFC中，CE＞EF，
∴CE＞OE，
∴②错误．③∵在△ODE和△ADO中，
∠DEO=90°+∠DAO，
∠AOD=90°+∠COD，
∵∠DAO= ∠COD，
∴③∠OED=∠AOD错误；④作ON⊥CD，

∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD= ×45°=22.5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圆直径，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°，
∠AEO=90°﹣22.5°=67.5°，
∴∠DCE=∠CED=67.5°，
∴CD=DE，
∴④正确．
综上所述，只有①④正确．
故选：B．
【考点精析】认真审题，首先需要了解垂径定理(垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧)，还要掌握圆周角定理(顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)的相关知识才是答题的关键．