Question

【题目】如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，点A在x轴负半轴上，点B、C分别在x轴、y轴正半轴上，且OB=2OA，OBOC=OCOA=2.

(1)求点C的坐标；

(2)点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位的速度沿BA向终点A匀速运动，当点Q到达终点A时，点P、Q均停止运动，设点P运动的时间为t(t＞0)秒，线段PQ的长度为y，用含t的式子表示y，并写出相应的t的范围；

(3)在(2)的条件下，过点P作x轴的垂线PM，PM=PQ，是否存在t值使点O为PQ中点? 若存在求t值并求出此时△CMQ的面积.

Answer 1

【答案】（1）点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，6）（2）见解析（3）8或16

【解析】

（1）由OBOC=OCOA=2可得OB﹣OA=4，结合OB=2OA可得出OA、OB的长度，从而得出OC的长度，写出点C的坐标即可；（2）分别求出P、Q两点相遇的时间、Q点到达A点的时间，写出不同的时间范围内，PQ的长度y与时间t的关系式即可；（3）O为P、Q的中点，即OP=OQ，将OP、OQ用含t的式子表示，列方程，解出t，然后画图，由于不确定M点位于x轴上方或者下方，所以进行分类讨论，利用割补法分别求出△CMQ的面积.

（1）∵OB﹣OC=OC﹣OA=2，

∴OB﹣OA=4，

∵OB=2OA，

∴OA=4，

∴OB=8，OC=6，

∴C（0，6）；

（2）由（1）知：AB=OA+OB=12，

∵点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB向点B匀速运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位的速度沿BA向终点A匀速运动，

∴点P运动的时间为t（t＞0）秒时，AP=t，BQ=3t，

当P、Q两点相遇时的t的值为：12÷（1+3）=3秒，

∵当点Q到达终点A时，点P、Q均停止运动，

∴t的最大值为12÷3=4秒；

①当0＜t≤3时，如图1，

PQ=AB﹣AP﹣QB=12﹣t﹣3t=12﹣4t，

即y=12﹣4t（0＜t≤3）；

②当3＜t≤4时，如图2，

PQ=AP+BQ﹣AB=4t﹣12，

即y=4t﹣12（3＜t≤4）；

（3）存在t值使点O为PQ中点，

∵点O为PQ中点，

∴0＜t≤3，OP=OQ，即OA﹣AP=OB﹣BQ，

∴4﹣t=8﹣3t，解得：t=2，

当t=2时，AP=2，OP=2，OQ=2，PQ=4，PM=PQ=4，

①点M在x轴上方时，如图3，

过点C作CN⊥PM，得：四边形CNPQ是梯形，

∵S△CMQ=S梯形CNPQ﹣S△CNM﹣S△PQM，

∴S△CMQ=(CN+PQ)×PN﹣CNMN﹣PMPQ

=×(OP+PQ)×OC﹣×OP×（OC﹣PM）﹣×4×4

=×(2+4)×-×2×(6﹣4) ﹣8

=18﹣2﹣8=8；

②点M在x轴下方，如图4．过点C作CN⊥PM，得：四边形CNPQ是梯形，

∵S△CMQ=S梯形CNPQ+S△PQM-S△CNM，

∴S△CMQ=（CN+PQ）PN+PQPM﹣MNCN

=×（OP+PQ）×OC+×4×4﹣（OC+PM）OP

=×（2+4）×6+8﹣×（6+4）×2

=×6×6+8﹣×10×2

=18+8﹣10=16．

∴△CMQ的面积为：8或16．